三門問題相關

[三門問題]

[問題1：原經典問題描述]

• 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內里有什麼

• 主持人知道每扇門後面有什麼

• 主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會

• 主持人永遠都會挑一扇有山羊的門
• 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門
• 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門

• 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門
  

[解答]

換，得到車的機率：⅔

不換，得到車的機率：⅓

樣本空間：

門1	門2	門3	機率
車	羊	羊	1/3
羊	車	羊	1/3
羊	羊	車	1/3

不失一般性，假設參賽者選了門1，之後的樣本空間變化（因為主持人必給換的機會且必開羊門）如下：

門1(參賽者已選定)	門2	門3	機率
車	開	羊	1/3*½ = 1/6
車	羊	開	1/3*½ = 1/6
羊	車	開	1/3*1 = 1/3
羊	開	車	1/3*1 = 1/3

[問題2：變化問題描述]

• 參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內里有什麼

• 主持人不知道每扇門後面有什麼

• 主持人在參賽者選擇後仍開出羊

• 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

[解答]

換，得到車的機率：⅔

不換，得到車的機率：⅓

原因同上, 主持人雖然不知道門後有什麼, 但因為另一群(非參賽者選擇的那兩門)有車的機率是2/3, 主持人於該群開出羊門後, 該群剩下的一門為車的機率就是2/3


參考資料: http://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E4%B8%89%E9%97%A8%E9%97%AE%E9%A2%98